I genitori della Glushko, Sergio e Olga, originari dell'Unione Sovietica, sono emigrati dall'Ucraina in Israele nel 1999, un anno prima della sua nascita. Lina si è diplomata presso la Ironi Gimel High School a Modi'in-Maccabim-Re'ut.
Ha svolto il servizio militare per la Israel Defense Forces (IDF).[1]
É la sorella minore di Julia Glushko (10 anni più grande), che è stata in passato una tennista professionista: le due hanno disputato per diversi anni tornei di doppio insieme. Nei suoi primi anni di carriera è stata allenata dal padre: in seguito è stata seguita dal fratello Alex.
Nel settembre 2017, ha vinto la prima edizione del torneo Anna and Michael Kahan Family Prize svolto a Ramat HaSharon, guadagnandosi ben NIS 100,000; con il premio in denaro, la Glushko li ha potuti usare per potersi acquistare attrezzature di poter viaggiare disputando tornei e di potersi pagare gli allenamenti.[2]
Lina Glushko ha vinto 3 titoli in singolare e 6 titoli in doppio nel circuito ITF in carriera. Il 1º agosto 2022 ha raggiunto il best ranking mondiale nel singolare con la 211ª posizione; il 22 maggio 2023 ha raggiunto il miglior piazzamento mondiale nel doppio con la 296ª posizione.