Speciale unitaire groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de speciale unitaire groep van graad ${\displaystyle n}$, genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$, de groep van unitaire ${\displaystyle n\times n}$-matrices met determinant 1. De groepsbewerking is die van de matrixvermenigvuldiging. De speciale unitaire groep is een deelgroep van de unitaire groep ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ van unitaire ${\displaystyle n\times n}$-matrices, die zelf weer een deelgroep is van de algemene lineaire groep ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$.

De groepen ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ vinden een brede toepassing in het standaardmodel in de natuurkunde, speciaal de ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ in de elektro-zwakke interactie en ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ in de kwantumchromodynamica.

Het simpelste geval, ${\displaystyle \mathrm {SU} (1)}$, is de triviale groep, die slechts één enkel element heeft. De groep ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ is isomorf met de groep van de quaternionen met absolute waarde gelijk aan 1, en zijn dus diffeomorf met de 3-sfeer. Aangezien eenheidsquaternionen worden gebruikt om rotaties in de driedimensionale ruimte weer te geven, hebben we een surjectief homomorfisme van ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ met de rotatiegroep ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$, waarvan de kern gelijk is aan ${\displaystyle \{+I,-I\}}$.

De speciale unitaire groep ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ is een reële matrix lie-groep van dimensie ${\displaystyle n^{2}-1}$. Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige lie-groep (dit betekent dat zijn lie-algebra enkelvoudig is; zie onder). Het centrum van ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ is isomorf met de cyclische groep ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$. De uitwendige automorfismegroep, voor ${\displaystyle n\geq 3}$, is ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, terwijl de uitwendige automorfismegroep voor ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ de triviale groep is.

De ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ wordt als algebra gegenereerd door ${\displaystyle n^{2}}$ operatoren die voor ${\displaystyle i,j,k,l=1,2,\ldots ,n}$ voldoen aan de commutatorrelatie

${\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}}$

In aanvulling hierop moet de operator

${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}$

voldoen aan

${\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0}$,

wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ gelijk is aan ${\displaystyle n^{2}-1}$.^[1]

Een algemene ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$-matrix heeft de vorm

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}}$,

waarin ${\displaystyle *}$ staat voor de complex geconjugeerde en ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ complexe getallen zijn met

${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$

In de definiërende representatie zijn de generatoren ${\displaystyle T_{a}}$ proportioneel aan de Pauli-matrices ${\displaystyle \sigma _{a}}$ via:

${\displaystyle T_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}}$

waarin:

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool

${\displaystyle f^{123}=1}$

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle ${\displaystyle d}$-waarden verdwijnen.

De generatoren ${\displaystyle T}$ van ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ worden in de definiërende representatie gegeven door:

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}}$

waarin de Gell-Mann-matrices ${\displaystyle \lambda }$ voor ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$ het analogon zijn van de pauli-matrix voor ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$:

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze hermitische matrices zijn.

Dit voldoet aan de relaties

${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}}$

waarin de structuurconstanten worden gegeven door

${\displaystyle f^{123}=1}$

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$

De ${\displaystyle d}$-waarden zijn:

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\tfrac {1}{2}}}$